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[推荐]深刻理解数学教材         ★★★
深刻理解数学教材
深刻理解数学教材
作者:未知 文章来源:本站原创 点击数:772 更新时间:2014-12-3 6:54:57

深刻理解数学教材

 

数学教材是学校环境下学生学习数学、教师教授数学的最基本课程资源。数学教材决定了课堂内数学学习活动的最基本内容、过程,因此在很大程度上影响着数学课程的实施。

一、        新教材的指导思想

1、            既要关注教,也要关注学。

2、            既要体现内容,也要体现过程。

二、        新教材的编写意图

1、帮助学生获取数学知识、技能和方法;

2、促进学生基本数学素养、一般能力和数学能力的发展;

3、帮助学生了解数学的作用、价值;

4、发掘学生学习数学的兴趣、提供适应其相关学习需求的主要资源;

5、巩固学生数学学习成果、提供评价其数学学业水平的标准。

三、教学内容和方法

1、选学内容:

⑴教材必须编写。

⑵教师可教可不教。

⑶大规模的考试(中考、统考)不应当考。

2、公平的教育:

所有人都能得到最适合自己的教育。

四、教材的结构

(一). 数材基本构成:

       一套完整的数学教材至少包括:学生用书(教科书)、教师用书(教参)、学生练册,

也有的教材还根据需要开发了学生学习评价手册,家长阅读材料,等等。

(二). 教科书的组成:

       一套数学教科书通常被指定供小学生、初中生或高中生使用,它们都由若干册组成,多数情况下,每册使用一学期或一年,少数教材使用若干周、或多于一年。每册教科书均若干章组成,每一章通常指向一个学习主题(如二元一次方程组、指数函数等);

每一章又包括若干节,每节都是该学习主题的一个方面或部分(如二元一次方程组的概念、二元一次方程组的解法、二元一次方程组的应用等);每一节则涵盖几个课时(如二元一次方程组的概念为一课时、二元一次方程组的解法为两课时、二元一次方程组的应用为两课时,等等)。

(三). 教科书的结构: 

元素 关系 编排元素—内容;

关系—逻辑与层次;

编排—组合与顺序。

案例:

   1、知识本位 :数学教科书应当反映数学的知识结构—数学学科知识自身内在的逻

辑、层次关系和基本顺序;

2、教育本位 : 数学教科书的结构应当在满足数学知识的基本逻辑关系、层次关系的基础上,以符合学生的认知特点、思维水平,有益于其发展的方式组合、排列。 即  教材的编排既应当考虑数学知识结构,也应当考虑学生的认知结构。基于新课程理念的数学教材主体采用的都是教育本位的观点。

3、教材结构(体系)的明线与暗线 :教材结构(体系)的明线一般为目录所呈现,

在内容总结部分也有表现。 教材结构(体系)的暗线多隐匿在内容“背后”。一般有:渗透数学思想方法的暗线,培养学生能力的暗线,帮助学生积累数学活动经验的暗线,教师用书、培训材料中涉及

提出问题

        第一层次,让学生从事形成猜想的活动——通过解决教材中给出类似于“结果是什么”、“你能得到…”、“你是怎样做的”的问题;有意识地培养学生的自我意识

        第二层次,让学生从事“提出问题”的活动——通过解决教材中提出类似于“还有什么方法”、“如果问题改变为…,你有什么解决方法”、“还能够提出哪些问题”等问题;有意识地激发学生的发散思维、问题意识

第三层次,让学生从事对“提出问题”的过程进行反思的活动——通过解决教材中类似于“自己的问题与原问题的区别是什么?”、 “你的解法与同伴的解法区别在哪里”、“你是

怎样得到这个问题(解法)的”,等问题。有意识地帮助学生形成一些“提出问题”的基本策略

案例  勾股定理与实数

      ⑴学科角度:“勾股定理”是一个最基本的几何定理,表达的是三角形边之间的数量关系,“实数”是代数对象,两者之间并无逻辑上的必然关系;

      ⑵认识角度:在数学发展史上,“勾股定理”较实数早出现数百年,而且引发“实数”(无理数)概念出现的重要缘故正是对“勾股定理”的应用。所以从认识过程看,“勾股定理”在前并无不可;

⑶教材角度:之所以有“实数”应当在“勾股定理”之前的看法,更多的是以往的教材总是这样排,其“好处”是可以在学完“勾股定理”之后立刻可以出“难题”(以复杂的实数值作为三角形的边长)。这样做的结果是教学完全偏离内容本质,走到代数、甚至技巧上去了,或者说,其结果是忽略“勾股定理”的几何内涵而处理其代数特征,没有抓住内容的本质。

      ⑷教学角度:对“勾股定理”应用范围的扩大完全可以在学完实数以后进行。

4. 教科书的编排

   ⑴ 分科式与混合式

      分科式编排—将代数、几何、统计概率等单独成科编写,以更好地反映各领域内容的内在结构;混合式编排则是将代数、几何、概率统计等综合为一门科目,力图加强不同领域之间的联系。

我国中学数学教材的编排状况:

      1949-1966:分科式编排,分算术、代数、几何、三角等多本独立的教材;

      1978-1980,第一次采取混合式编写;

      1981-1995,分科式编写再度成为主流;

      1996-2000,又开始出现混合式教材;

       2001—,混合式成为教材编写的主流。

新世纪版初中数学教材(八上)前五章:

       第一章  勾股定理

       第二章  实数

       第三章  位置与坐标

       第四章  一次函数

       第五章  二元一次方程组

这五章之间体现了很强的逻辑关系和内容的融合:

       古代数学先有了平面几何的重要定理---勾股定理;其后,由于研究一些特殊量而得出不可公度的量(无理数、实数)的概念;实数可以和数轴上的点形成一一对应,因此,数轴也变成了“实”的—可以刻画连续变化的量。为表示平面上点的位置做了铺垫。在此基础上拓展出二维坐标,用来刻画平面上的点。建立平面直角坐标系,又帮助人们从“形”的角度

认识函数(一次函数)。而函数与方程是紧密相联的,借助一次函数的图像,又可以从“形”的角度进一步认识二元一次方程(组)的解。

⑵ 直线式与螺旋式

    直线式:按照数学知识的前后逻辑关系,将课程内容组织成直线向前的体系,前面的内容为后续内容做准备,后续内容不重复前面的内容;

    螺旋式:在不同学段(不同单元)中,某些课程内容重复出现,逐渐拓展知识面、加深知识难度,即同一课程内容多次出现,后面内容作为前面内容的扩展、深化。

案例   函数

    新世纪教材采用了“逐级递进、螺旋上升”的做法,以体现函数不仅仅是初中数学的一个重要概念,更是一种重要的数学思想。具体过程包括三个阶段。

    ① 经验性理解——学生通过对若干生活和数学中的现象与问题的研讨,感受变化过程、“对应”现象;尝试探索变化规律的活动;经历研究函数基本性质的过程;尝试根据函数

的基本特征做预测的活动。这样做,既有助于丰富学生对函数的感性认识,也为其后续的函数学习打基础。

    7下第3章:变量之间的关系。

② 形式化理解

         教材采用“由具体到一般”的做法,从对若干具体函数内容的处理(一次函数、反比例函数、一元二次函数),进一步深入到一般函数概念的层面。主要目的在于让学生从事函数内容的实质性学习:包括理解函数的基本概念(自变量、定义域等),以及相关的性质;借助函数的知识和方法解决问题等。帮助学生理解作为抽象对象的函数。

8上第四章:一次函数、9上第六章:反比例函数、9下第二章: 二次函数

③ 结构化理解

      在这一阶段,教材选择了若干实例,分析了函数与其他数学内容的实质性联系,意图帮助学生从结构的高度加深对函数意义的理解。

    8上第五章:二元一次方程组,8下第二章:一元一次不等式(组),9下第2章:二次函数

5. 教科书内容例说

       ⑴ 代数概念的形式化特征

         许多代数概念的定义都是形式化,而非内涵定义(阐述本质属性)或外延定义(例举对象)。比如:

      负数:在正数的前面加上一个负号形成的数,叫做负数。如-1-2.1,…;

      代数式:…,它们都是用运算符号把字母和数字连接而成的,像这样的式子叫做代数式。

单项式与多项式:…,都是数与字母的乘积,这样的代数式叫做单项式;几个单项式的和叫做多项式;

      分式:整式A除以整式B,可以表示成A/B的形式,如果除式B中含有字母,那么称A/B为分式;

     一元一次函数:如果两个变量xy之间的关系可以表示成y=kx+bb为常数,k 0)的形式,则称yx的一次函数;

      二元一次方程组:像这样由含有两个未知数的两个一元一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组;

反比例函数:一般地,如果两个变量xy之间的关系可以表示成y=k/xk是常数,k 0),那么称yx的反函数。

      正比例函数:如果两个变量xy之间的关系可以表示成y=kxk为非零常数)的形式,则称yx的正比例函数。

      二次函数:一般地,形如y=ax2+bx+cabc是常数,a0)的函数叫做x的二次函数。

这些定义所给出的大多是概念的表述形式,而非本质属性。 

        负数—— 纯粹的形式化定义。没有涉及到负数的本质特性:小于零;

        代数式——定义是(半)形式化的。其本质是:数学符号具有一般性(用字母可以表示任意对象、事物),字母能够替代数进入运算。体现“代数作为表示的工具”的作用,

       “半形式化”——说明代数式只含有(代数)运算符号,而没有关系符号;

二元一次方程组——纯粹的形式化定义。没有涉及到概念的核心:两个方程中所含有的xy各自代表相同的对象,而且同时满足两个方程所确定的数学关系,至于花括号、方程里有几个未知数等等都是形式;

       一次函数——形式化定义。没有涉及到一次函数的本质特征:在自变量的变化大小相等(x2-x1的值相同)时,因变量的变化大小(y2-y1的值)也相等。

反比例函数——纯粹的形式化定义。没有涉及到反比例函数关系的本质特征:在自变量变大、变小的过程中,因变量按固定的比例变大或变小(视k值而定)。

       正比例函数类似。

       二次函数——纯粹的形式化定义。没有涉及到二次函数关系的本质特征:因变量y随自变量x的变化而变化,特别地,因变量的变化范围、图像的对称性、与xy)轴交点的含义、…,没有体现。所以《标准》强调y=a(x-h)2+k 的形式

⑵ 内容概念

       图形的全等和相似的定义是一种直观描述:两个图形全等是指它们“一模一样”(形状、大小);两个图形相似是指它们的形状完全相同,仅仅是大小不同。这样的”定义“常常使我们忽略满足全等、相似关系的图形之间一个关键的要素——任何对应部分的大小相同(全等),或它们的比是固定(相似)的。

换言之,两个图形不仅仅是对应边或一些特殊的对应线段(高、中线、角平分线、三等分线等等)之间存在既定的关系——相等或成比例,事实上,两个图形之间的任何对应

部分(如线段、角,面积等等)之间都存在既定的比例关系。

⑶ 原理理解

       待定系数法

       表面上看,待定系数法是一套程序:假设所求一次函数式为y=kx+b,将已知条件带入,求得未知数kb,问题得解。而其核心在于对其中存在的原理的理解——为什么这样

求出的结果是对的。事实上,并不是做任意的类似假设都能

够得到正确结果的。

       比如,假设存在最大自然数x,那么由于x2也是自然数,所以x<x2,同时,x>x2,所以x=x2, 即x=1

学习使用待定系数法求解一次函数的解析式,重要价值之一在于帮助学生(特别是优秀学生)领悟它的原理、感悟这种特定的思维方式,而不是求解各种复杂程度较高的解析式。这一点,与反证法类似。

       教学过程中,对于优秀的学生,不应让他们花较多的时间去解决那些条件复杂,系数求解过程很麻烦的问题。相比之下,讨论下面问题的意义更大:

对于给定的条件,如果我们设某个函数的解析式是y=kx+b,而求得结果为y=2x+1,那么,当我们假设这个函数的解析式是Ax+by=c时,根据同样的条件,会得到结果y=2x+1吗?为什么?

全等条件的全体组成一个结构而不是集合。其中,“顺序”的要求很重要。以三角形全等为例,为什么对“角、边、角”,“边、角、边”就放心,而对“边、边、角”,“角、角、边”就不放心?(边、边、边是特例——三角形稳定性,四边形不具备)     

       例:一个三角形有6个基本元素(3条边、3个角),如果两个三角

形满足3对元素分别相同,它们具备什么关系?如果是4对呢?5对呢?

6. 教科书体例

       体例是教科书组织与呈现课程内容的具体形式,包括数学活动方式和活动过程等。

      章—由章前图、章前语、各节内容、本章小结、章复习题等内容构成。

      章前图:选择本章内容含有的典型图片(或另行设计),反映本章要解决的数学问题或所要学习的数学知识内容。让学生初步了解全章概貌,了解本章内容学习的意义,

章前语,借助章前图,提出蕴含本章内容的具体问题,简要陈述本章主要学习目标。

      节:一般包括主题、情境、活动、结论、例题、练习、习题、阅读等内容。

      节为教学的基本单元,每节有自己的小系统,从每节的教材设计可以看出整个教材的体例。

   节名称—主题

    问题情境——以学生自身和周围环境中的自然现象、社会生活、数学或其他学科中的问题为知识学习的切入点,突出数学与现实世界、与其他学科之间的联系,以及知识产生的

由来,引发学生的学习欲望、展开主题内涵;

   问题串——由浅入深,提出一系列有思维层次或不同理解深度的问题,力图使每一位学生都能投入到学习活动中,不同的人得到不同的收获;

数学活动——依据学生已有的知识背景和活动经验,针对相应学习主题,提供给学生的,以自主探索、合作交流等方式进行的主动式学习活动,包括“做一做”、“想一想”、“议一

议”等。

   思考与整理——让学生经历归纳、概括等过程,提炼出上述活动中的数学学习对象,并用自己熟悉的方式、语言及数学符号去表达。

明晰——用较为规范的形式正规的数学语言表达主要的数学对象,概念、法则、定理等。

    例题(直接联系所学内容)

    随堂练习(与先前的数学活动或例题关联的基本问题)

   阅读材料(以“读一读”形式出现的,与学习主题密切相关的数学史实、现实中的数学应用介绍文章或趣味性小评文,每章至少有一个)

   

章小结:对全章内容的梳理以及对本章内容所反映的主要思想方法的归纳概括,对于帮助学生“由厚到薄”地再认识本章内容、帮助教师提升教学的思想性具有重要作用。

     “回顾与思考”:以问题的方式引起学生对本章主要知识和方法的整理、交流和表述。让学生通过思考与交流,梳理所学的知识,最终建立起符合个体认知特点的知识结构。

习题 略

 

 

 

 

 

 

 

 

             

 

 

 
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